心理科學有許多測量指標在在一開始被提出時，研究者會設定所有人類的測量結果符合常態分佈，例如智力商數。 1926年，奧地利物理學家薛丁格運用偏微分方程，建立了描述微觀粒子運動的波動方程，即薛丁格方程。 |Ψ|2表示原子核外空間某點P處電子出現的機率密度，即在該點處單位體積中電子出現的機率。 用來表示機率密度的幾何圖形俗稱電子云，電子云並非眾多電子彌散在核外空間，而是電子在核外空間各處出現的機率密度的形象表現。 提示：按照我們採用的定義（把機率密度函數定義為累積分布函數的導函數）來看，上述機率分布函數和變量在指定區間內取值機率的關係是微積分基本定理的直接推論。 機率密度 機率密度 不過如果只是學習和掌握本節的主要內容，可以不需要預先了解微積分基本定理。
正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。 各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分布。 常態分布出現在許多區域統計：例如，採樣分布均值是近似地常態的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從常態分布。 另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分布的自然選擇。 常態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。
機率密度: 概率密度函數例子
累積機率函數微分之後，就成為機率密度函數。 也就是說-1到1之間的累積機率，以機率密度函數畫成的曲線來看，等於兩個分數之間的面積。 二項分佈的隨機變數是一種離散型隨機變數，本單元一開始示範的投擲十枚硬幣之正面朝上次數，就是最佳的例子。 因為是以來賓一開始的選擇決定主持人接著開門的樣本空間，一開始選擇的門真的有車，主持人接著開那一道門的機率都是1/2。
所以主持人要打開那道門讓觀眾看山羊，也是一種隨機事件。 不過主持人打開那道門的機率，與來賓最後選那一道門中車子的機率無關。 從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種波動方程式，因此，波函數具有類似波的性質。 設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。
機率密度: 位置空間波函數
那么,機率流就是這流體的流率(機率密度乘以速度)。 在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。 那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。 更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。
在概率論，常態分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。 上述的中心極限定理表明，其它類型的機率分布很大程度上可以用常態分佈作為近似。 來自自然的觀測結果都有很多隨機誤差，並且經常可以視為是彼此獨立的，所以這些不同來源但彼此獨立的誤差大量疊加、抵消之後最終展現出來的結果就是常態分佈。 由於常態分佈和隨機誤差的淵源，標準常態分佈的機率密度函數（即高斯函數）也叫做（高斯）誤差函數（ error function）。
機率密度: 標準偏差
橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。 機率密度 定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。 中心极限定理指出，在特定条件下，一个具有有限均值和方差的随机变量的多个样本(观察值)的平均值本身就是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布。 機率密度 因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布。 均勻分布(數學機率論中的術語) 的積分值。
只採用離散型隨機變量並不能描述所有我們可能感興趣的隨機事件的結果變化。 例如很多事件的觀測結果可以在一個連續的數值區間內分布，此時談論事件結果在某一個精確數值上的取值往往也變得意義不大。 此外，由於測量誤差（隨機誤差或系統誤差）的存在，我們更有理由關心結果落在一個範圍內而不是一個單點上的機率。 在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。
機率密度: 機率質量函數
林德伯格-萊維中心極限定理（Lindeberg-Lévy central limit theorem）指出：很多個獨立同分布因素的疊加結果會接近常態分佈。 相關例題2： 某中學高考數學成績近似地服從常態分佈N，則此校數學成績在80～120分的考生占總人數的百分比為。 機率密度 之前我們提到過，標準得分（z分數）常用於確定常態分佈數據中的百分位數取值，或者是確定某個具體取值高於正態類型總體中百分之多少的數據。 換句話說，藉助標準得分的轉換，可以實現在常態分佈或其它分布中從百分位數到原始值之間的相互換算。
圖為高爾頓釘板（Galton board）或稱豆子機（bean machine）。 由於在高爾頓板的實驗過程中，每個小球在每一層都做了完全隨機選擇的左右選擇，這就導致它可以類比為一個重複獨立的伯努利試驗，於是其分布結果可以用帕斯卡三角形第n層的那一排數描述。 如果繼續增加釘板的層數、最下方小孔數量和實驗次數，可以發現各個孔中小球的高度連起來可以近似地構成一條平滑的曲線。 這是一種不同於離散型機率分布的連續取值的機率分布。 至此我們應該注意到，如果要用機率分佈表現資料的發生機率，類別變項資料就是運用離散型隨機變數與其機率函數。
機率密度: 3.2 標準化常態分佈
套用學科 航空科技(一級學科),航空電子與機載… 作為一個意義深遠的定理，我們先在本小節關心它的統計學意義，稍後的其它小節中再藉助微積分學的符號補充此定理的數學形式。 機率分佈頁面能讓您繪製各種機率分佈的圖形。
由於量子力學很大程度上就是用復變量函數對微觀世界中的機率問題進行建模，所以對函數的係數進行歸一化也是量子力學中的常見做法。 知識背景：這種積分區間延伸至無限遠的積分被歸類為一種反常積分（infinite limits of integration）。 對高斯函數在整個實數軸上進行的無界積分也叫做高斯積分（Gaussian integral），它的積分值是使用專門的極坐標變量代換技巧求出的。